Streaming - Corrigé

Énoncé

Deux plateformes proposant des films en streaming se font concurrence sur le marché : Webflix et Yellow Cinema. Au 1^er janvier 2019, 63 % des utilisateurs de ces plateformes sont abonnés à Webflix et les 37 % restants à Yellow Cinema. On souhaite étudier l'évolution du marché au fil du temps. On estime que chaque mois :

• parmi les clients de Webflix, 89 % renouvellent leur abonnement tandis que les autres quittent la plateforme pour s'abonner à Yellow Cinema ;
  
• parmi les clients de Yellow Cinema, 91 % renouvellent leur abonnement tandis que les autres quittent la plateforme pour s'abonner à Webflix.
  

On suppose également que le nombre total de clients reste constant.

Pour tout entier naturel  \(n\) , on note :

• \(w_n\)  la proportion de clients abonnés à Webflix  \(n\)  mois après le 1^er janvier 2019 ;
  
•   \(y_n\)  la proportion de clients abonnés à Yellow Cinema  \(n\)  mois après le 1^er janvier 2019.
  

L'état probabiliste  \(n\)  mois après le 1^er janvier 2019 est noté  \(P_n=\begin{pmatrix}w_n&y_n\end{pmatrix}\) .

On a ainsi  \(P_0=\begin{pmatrix}0,63&0,37\end{pmatrix}\) .

On rappelle que, pour   tout entier naturel  \(n\) , on a  \(w_n+y_n=1\) .

1. Représenter la situation par un graphe probabiliste dans lequel on notera respectivement  \(W\)  et  \(Y\)  les sommets correspondants aux plateformes Webflix et Yellow Cinema.

2. a. Donner la matrice de transition  \(T\)  de ce graphe, en considérant les sommets dans leur ordre alphabétique.
    b. Calculer l'état probabiliste  \(P_2\) .

3. Montrer que, pour tout entier naturel  \(n, w_{n+1}=0,8w_n+0,09\) .

4. On considère la suite  \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  définie par  \(a_n=w_n-0,45\) .
    a. Démontrer que la   suite  \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  est une suite géométrique de raison  \(0,8\)  dont on précisera la raison et le premier terme.
    b. Exprimer  \(a_n\)  en fonction de  \(n\) .
    c. En déduire que, pour tout  \(n\in\mathbb{N}, w_n=0,18\times0,8^n+0,45\) .

5. Les dirigeants de Webflix peuvent-ils espérer rester les leaders du marché à long terme ?

D'après bac ES, Polynésie 2020

Solution

1. 

2. a.  \(T=\begin{pmatrix}0,89&0,11\\0,09&0,91\end{pmatrix}\)

b.  \(P_2=P_0T^2=\begin{pmatrix}0,5652&0,4348\end{pmatrix}\)

3. Pour tout  \(n\in\mathbb{N}, P_{n+1}=P_nT\) , donc
\(\begin{cases}w_{n+1}=0,89w_n+0,09y_n\\y_{n+1}=0,11w_n+0,91y_n\end{cases}\)
De plus  \(w_n+y_n=1\) .
Donc  \(w_{n+1}=0,89w_n+0,09(1-w_n)=0,8w_n+0,09\) .

4. a. La suite  \((w_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  est une suite arithmético-géométrique que l'on étudie de manière classique à l'aide de la suite auxiliaire  \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  :  \(a_{n+1}=w_{n+1}-0,45\) .
Donc  \(a_{n+1}=0,8w_n+0,09-0,45\) .
Puis on remplace  \(w_n=a_n+0,45\) .
Donc  \(a_{n+1}=0,8(a_n+0,45)+0,09-0,45=0,8a_n\) .
La suite auxiliaire  \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\)   est donc bien géométrique de raison  \(0,8\)  et de premier terme  \(a_0=w_0-0,45=0,18\) .

    b.  \(a_n=0,18\times 0,8^n\)

    c.  \(w_n=a_n+0,45=0,18\times0,8^n+0,45\)

5. La suite auxiliaire  \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\)   converge vers \(0\) , donc par somme de limites, la suite  \((w_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers  \(0,45\) . À long terme, les dirigeants de Webflix ne seront plus leaders du marché.